连续函数会收敛到不连续函数?有例子说C[a,b]在:|x(t)-y(t)|的平方在a到b上积分再开方,这个定义距离下是不完备的.但是,在该定义下的Cauchy点列趋于0,则积分号内的平方项趋于0,推出|Xm(t)-Xn(t)|趋

Question

连续函数会收敛到 不连续函数?
有例子说C[a,b]在:|x(t)-y(t)|的平方在a到b上积分再开方,这个定义距离下是不完备的.
但是,在该定义下的Cauchy点列趋于0,则积分号内的平方项趋于0,推出|Xm(t)-Xn(t)|趋于0,则存在X(t)属于C[a,b],使:|Xn(t)-X(t)|趋于0,这就会推出C[a,b]在该定义下是完备的结论,也就是说连续的不可能收敛到不连续,只能收敛到连续,这是怎么回事呢?

Answer 1

你的错误在于"|Xm(t)-Xn(t)|趋于0"不能推出"存在X(t)属于C[a,b],使:|Xn(t)-X(t)|趋于0",事实上这个X(t)在L^2[a,b]里,并不一定在C[a,b]里.
再个你个例子,[0,1]上x^n的极限不是连续函数.