已知点A、B、C是半径长为2的半圆O上的三个点，其中点A是弧BC的中点（如图），联结AB、AC，点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE．（1）求证：OD=OE；（2）联结BC，当BC=22时，求∠DOE的度数；（

Question

已知点A、B、C是半径长为2的半圆O上的三个点，其中点A是弧BC的中点（如图），联结AB、AC，点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE．
（1）求证：OD=OE；
（2）联结BC，当BC=2√(2)时，求∠DOE的度数；
（3）若∠BAC=120°，当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积是否变化？若变化，请简述理由；若不变化，请求出四边形ADOE的面积．

Answer 1

（1）∵A是弧BC的中点，
∴AB=AC，
连接OB、OA、OC，
∵在△AOB和△AOC中，

AB＝AC

OB＝OA

OA＝OC

，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠CAO=∠ABO，
∵AD=CE，
∴AB-AD=AC-CE，
即BD=AE，
∵在△BOD和△AOE中，

OB＝OA

∠CAO＝∠ABO

BD＝AE

，
∴△BOD≌△AOE（SAS），
∴OD=OE；

（2）设OA和BC交于M，
∵△AOB≌△AOC，
∴∠AOB=∠AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴∠BOD=∠AOE，
∴∠AOD=∠COE，
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=(1)/(2)∠BOC，
∠AOC=∠AOE+∠COE=(1)/(2)∠BOC，
∵AB=AC，
∴OA⊥BC，CM=(1)/(2)BC=√(2)，
∴sin∠COM=(CM)/(OC)=(√(2))/(2)，
∴∠COM=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠DOE=(1)/(2)∠BOC=45°；

（3）∵△AOB≌△AOC，
∴S_△AOB=S_△AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴S_△BOD=S_△AOE，
∴S_△AOB-S_△BOD=S_△AOC-S_△AOE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_△AOE+S_△AOD=S_△BOD+S_△COE，
∴S_{四边形ADOE}=(1)/(2)S_{四边形ABOC}，
∴当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积没有变化，
∵∠BAC=120°，
∴∠OAB=∠OAC=60°，
∴ABOC是菱形，
∴AM=(1)/(2)AO=1
CM=√(AC2−AM2)=√(22−12)=√(3)，
∴BC=2√(3)，
∴S_菱形ABOC=(1)/(2)×2√(3)×2=2√(3)，
∴S_{四边形ADOE}=(1)/(2)S_{四边形ABOC}=√(3)．