如图,如图矩形abcd中,把∠b,∠d分别翻折,使点b,d恰好落在对角线ac上的点e,f处,折，使点B、D恰好落在对角如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处

Question

如图,如图矩形abcd中,把∠b,∠d分别翻折,使点b,d恰好落在对角线ac上的点e,f处,折，使点B、D恰好落在对角

如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN， （1）求证：△ADN≌△CBM； （2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由； （3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。 又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。 ∴△AND≌△CBM（ASA）。 （2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。 又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。 四边形MFNE不是菱形，理由如下： 由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900， ∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。 ∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。 （3）∵AB=4，BC=3，∴AC=5。 设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得 3x＋5x=12，解得x=，即DN=BM=。 过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。 在△NHM中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得NM=。 ∵PQ∥MN，DC∥AB， ∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM=。 又∵PQ=CQ，∴CQ=。 在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。 ∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。 【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。 （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 （3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。