已知抛物线y2=2px的焦点F过焦点F作直线与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.（1）求证∠AOB为钝角;(2)探究∠AOB何时为最大.

Question

已知抛物线y2=2px的焦点F过焦点F作直线 与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.（1）求证∠
AOB为钝角;
( 2 ) 探究∠AOB何时为最大.

Answer 1

F（p/2,0）,设直线 AB 的方程为 y=k(x-p/2) ,
与抛物线方程联立得 2py=k(2px-p^2) ,
化简得 ky^2-2py-kp^2=0 ,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 y1+y2=2p/k ,y1*y2= -p^2 ,
所以 x1*x2=(y1^2/2p)*(y2^2/2p)=p^2/4 ,
因此 OA*OB=x1*x2+y1*y2=p^2/4-p^2= -3p^2/4 为定值
所以AOB为钝角;
（2） OA*OB=x1*x2+y1*y2=p^2/4-p^2= -3p^2/4 为定值,由余弦公式,由于当OA=OB时,∠AOB何时为最大