如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若PC=25，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长．

Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若PC=2√(5)，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长．

Answer 1

（1）证明：
连接OB，
∵OA⊥直线l，
∴∠PAC=90°，
∴∠APC+∠ACP=90°，
∵AB=AC，OB=OP，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBP=∠OPB，
∵∠BPO=∠APC，
∴∠ABC+∠OBP=90°，
∴OB⊥AB，
∵OB过O，
∴AB是⊙O的切线；

（2）
延长AO交⊙O于D，连接BD，
设⊙O半径为R，则AP=5-R，OB=R，
在Rt△OBA中，AB²=5²-R²，在Rt△APC中，AC²=（2√(5)）²-（5-R）²，
∵AB=AC，
∴5²-R²=（2√(5)）²-（5-R）²，
解得：R=3，
即⊙O半径为3，
则AC=AB=4，
∵PD为直径，OA⊥直线l，
∴∠DBP=∠PAC，
∵∠APC=∠BPD，
∴△DBP∽△CAP，
∴(CP)/(PD)=(AP)/(BP)，
∴(2√(5))/(6)=(2)/(BP)，
∴PB=(6√(5))/(5)．