设x＞1，比较logx（x+1）和logx+1（x+2）的大小．

Question

设x＞1，比较log_x（x+1）和log_x+1（x+2）的大小______．

Answer 1

log_x（x+1）=(lg(x+1))/(lgx)，
log_x+1（x+2）=(lg(x+2))/(lg(x+1))，
令f（x）=(lg(x+1))/(lgx)，
原题变为比较f（x）和f（x+1）的大小，下面讨论：
∵x＞1，lgx＞0，
∴[lg（x+1）]²-lg（x+2）lgx
=[lg（x+1）]²-lg（x+2）•lg（x+1）+lg（x+2）•lg（x+1）-lg（x+2）•lgx
=lg（x+1）•lg((x+1)/(x+2))+lg（x+2）•lg（(x+1)/(x)）
＞lg（x+1）•lg(x)/(x+1)+lg（x+2）•lg(x+1)/(x)
=lg(x+1)/(x)•lg(x+2)/(x+1)＞0，
∴[lg（x+1）]²＞lg（x+2）•lgx．
∴(lg(x+2))/(lg(x+1))＜(lg(x+1))/(lgx)．
即f（x）＞f（x+1）．
∴log_x（x+1）＞log_x+1（x+2）．
故答案为：log_x（x+1）＞log_x+1（x+2）．