已知圆O：x2+y2=4内一定点Q（1，0），过点Q作倾斜角不为0°的直线L交圆O于A、B两点．（1）若AQ＝2QB，求直线L的方程；（2）试证在x轴上存在一定点M，使得MQ平分∠AMB，并求出定点M的坐标；（3

题目详情

已知圆O：x²+y²=4内一定点Q（1，0），过点Q作倾斜角不为0°的直线L交圆O于A、B两点．
（1）若

＝2

，求直线L的方程；
（2）试证在x轴上存在一定点M，使得MQ平分∠AMB，并求出定点M的坐标；
（3）对于（2）中的点M，若∠AMB=60°，求△AMB的面积．

▼优质解答

答案和解析

（1）令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵

＝2

，Q（1，0），
∴（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），
∴x₁+2x₂=3，y₁=-2y₂，
设直线L的方程为x=my+1，代入圆O：x²+y²=4，
整理可得（m²+1）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-

m2+1

，y₁y₂=-

m2+1

，
∴-y₂=-

m2+1

，-2y₂²=-

m2+1

，
∴m=±

，
∴直线L的方程为x=±

y+1；
（2）证明：设M（t，0），则
∵MQ平分∠AMB，
∴k_AM=-k_MB，
∴

x1−t

x2−t

，
∴y₂（x₁-t）+y₁（x₂-t）=0，
∴y₂（my₁+1-t）+y₁（my₂+1-t）=0，
∴2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0，
∴2m•（-

m2+1

）+（1-t）（-

m2+1

）=0，
∴2m（4-t）=0，
∴t=4，即M（4，0），MQ平分∠AMB；
（3）由（2）知，直线AM的倾斜角为150°，则其方程为y=-

相关问答

看了已知圆O：x2+y2=4内一...的网友还看了以下：