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(2001•上海)如图,已知椭圆C的方程为x2+y22=1,点P(a,b)的坐标满足a2+b22≤1,过点P的直线l与椭圆交于A、B两点,点Q为线段AB的中点,求:(1)点Q的轨迹方程;(2)点Q的轨迹与坐标轴
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(2001•上海)如图,已知椭圆C的方程为x2+
=1,点P(a,b)的坐标满足a2+
≤1,过点P的直线l与椭圆交于A、B两点,点Q为线段AB的中点,求:
(1)点Q的轨迹方程;
(2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
y2 |
2 |
b2 |
2 |
(1)点Q的轨迹方程;
(2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
▼优质解答
答案和解析
(1)设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),点Q的坐标为Q(x,y).当x1≠x2时,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-a)+b
由已知
+
=1,
+
=1①
y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b②
由①得(x1+x2)(x1−x2)+
(y1+y2)(y1−y2)=0③
由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b④
由③④及x=
,y=
,k=
,
得点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0⑤
当x1=x2时,k不存在,此时l平行于y轴,因此AB的中点Q一定落在x轴上,即Q的坐标为(a,0).
显然点Q的坐标满足方程⑤
综上所述,点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0.
设方程⑤所表示的曲线为L,
则由
得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0.
因为△=8b2(a2+
−1),由已知a2+
由已知
x | 2 1 |
| ||
2 |
x | 2 2 |
| ||
2 |
y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b②
由①得(x1+x2)(x1−x2)+
1 |
2 |
由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b④
由③④及x=
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
y1−y2 |
x1−x2 |
得点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0⑤
当x1=x2时,k不存在,此时l平行于y轴,因此AB的中点Q一定落在x轴上,即Q的坐标为(a,0).
显然点Q的坐标满足方程⑤
综上所述,点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0.
设方程⑤所表示的曲线为L,
则由
|
得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0.
因为△=8b2(a2+
b2 |
2 |
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