（2001•上海）如图，已知椭圆C的方程为x2+y22＝1，点P（a，b）的坐标满足a2+b22≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴

Question

（2001•上海）如图，已知椭圆C的方程为x2+(y2)/(2)＝1，点P（a，b）的坐标满足a2+(b2)/(2)≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．

Answer 1

（1）设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），点Q的坐标为Q（x，y）．当x₁≠x₂时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x-a）+b
由已知

x

2 1

+(y21)/(2)＝1，

x

2 2

+(y22)/(2)＝1①
y₁=k（x₁-a）+b，y₂=k（x₂-a）+b②
由①得(x1+x2)(x1−x2)+(1)/(2)(y1+y2)(y1−y2)＝0③
由②得y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2ak+2b④
由③④及x＝(x1+x2)/(2)，y＝(y1+y2)/(2)，k＝(y1−y2)/(x1−x2)，
得点Q的坐标满足方程2x²+y²-2ax-by=0⑤
当x₁=x₂时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）．
显然点Q的坐标满足方程⑤
综上所述，点Q的坐标满足方程2x²+y²-2ax-by=0．
设方程⑤所表示的曲线为L，
则由

2x2+y2−2ax−by＝0

x2+(y2)/(2)＝1

得（2a²+b²）x²-4ax+2-b²=0．
因为△＝8b2(a2+(b2)/(2)−1)，由已知a2+

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