在xy平面,直线L过原点O,和点A,A不等于O.取一点P,过P点做L的垂线和L相交于Q点,如果P点在直线L上,我们使Q=P.向量a,p,q分别是A,P,Q的位置向量,用向量a,p,表示q.

Question

在xy平面,直线L过原点O,和点A,A不等于O.取一点P,过P点做L的垂线和L相交于Q点,如果P点在直线L上,我们使Q=P.向量a,p,q分别是A,P,Q的位置向量,用向量a,p,表示q.

Answer 1

q = a (p,a)/(a,a).
下面推导里,(x,y)代表向量的内积,|x|代表x的模长.
a/|a|是L上的单位向量,即为Q的方向.
设a和p的夹角是α,则根据内积定义,(p,a)=|p||a|cosα.p在L的投影长度=p cosα = (p,a)/|a|,即为Q的长度.
所以q= (p,a)/|a| * a/|a|=a (p,a)/|a|²=a (p,a)/(a,a).