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一条变动的直线L与椭圆X^2/4+Y^2/2=1交于P,Q两点,M是L上的动点,满足关系|MP|×|MQ|=2.若直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1,求动点M的轨迹方程
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一条变动的直线L与椭圆X^2/4+Y^2/2=1交于P,Q两点,M是L上的动点,满足关系|MP|×|MQ|=2.
若直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1,求动点M的轨迹方程
若直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1,求动点M的轨迹方程
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答案和解析
直线L:y=x+k,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,n)
==> y1=x1+k,y2=x2+k,k=n-m ...(1)
y=x+k 代入X^2/4+Y^2/2=1,得:
3x^2 +4kx +(2k^2 -4) =0 ...(2)
|MP|*|MQ|=2
|MP| =根号[(x1-m)^2+(y1-n)^2] =根号[2*(x1-m)^2]
|MQ| =根号[(x2-m)^2+(y2-n)^2] =根号[2*(x2-m)^2]
1 =|(x1-m)(x2-m)| =|x1x2 -(x1+x2)m +m^2| ...(3)
(1)(2)(3) ==>
m^2 +2*n^2 = 1,or 7
因此,动点M的轨迹为椭圆:
x^2 +2*y^2 =1,及:x^2 +2*y^2 =7
==> y1=x1+k,y2=x2+k,k=n-m ...(1)
y=x+k 代入X^2/4+Y^2/2=1,得:
3x^2 +4kx +(2k^2 -4) =0 ...(2)
|MP|*|MQ|=2
|MP| =根号[(x1-m)^2+(y1-n)^2] =根号[2*(x1-m)^2]
|MQ| =根号[(x2-m)^2+(y2-n)^2] =根号[2*(x2-m)^2]
1 =|(x1-m)(x2-m)| =|x1x2 -(x1+x2)m +m^2| ...(3)
(1)(2)(3) ==>
m^2 +2*n^2 = 1,or 7
因此,动点M的轨迹为椭圆:
x^2 +2*y^2 =1,及:x^2 +2*y^2 =7
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