如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点

Question

如图，一次函数 y ＝－ x ＋ 4 的图像与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A 、 B ，过点 A 作 x 轴的垂线 l ，点 P 为直线 l 上的动点，点 Q 为直线 AB 与△ OAP 外接圆的交点，点 P 、 Q 与点 A 都不重合．    ⑴写出点 A 的坐标         ；

⑵当点 P 在直线 l 上运动时，是否存在点 P 使得△ OQB 与

△ APQ 全等？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，

请说明理由．

⑶若点 M 在直线 l 上，且∠ POM ＝ 90 °，记△ OAP 外接圆和

△ OAM 外接圆的面积分别是 、 ，求 的值．

Answer 1

解（ 1 ）令 y=0 ，得：﹣ x+4=0 ，解得 x=4 ，

所以点 A 的坐标为（ 4 ， 0 ）；

（ 2 ）存在．

理由：如图所示：

∵∠ OBA= ∠ BAP ， ∴ 它们是对应角，

∴ BQ=PA ，

将 x=0 代入 y= ﹣ x+4 得： y=4 ，

∴ OB=4 ，

由（ 1 ）可知 OA=4 ，

在 Rt △ BOA 中，由勾股定理得： AB = =4 ．

∵△ BOQ ≌△ AQP ．

∴ QA=OB=4 ， BQ=PA ．

∵ BQ=AB ﹣ AQ=4 ﹣ 4 ，

∴ PA=4 ﹣ 4 ．

∴ 点 P 的坐标为（ 4 ， 4 ﹣ 4 ）．

（ 3 ）如图所示：

令 PA=a ， MA=b ， △ OAP 外接圆的圆心为 O ₁ ， △ OAM 的外接圆的圆心为 O ₂ ，

∴ OP ² =OA ² +PA ² =4 ² +a ² =16+a ² ， OM ² =OA ² +MA ² =4 ² +b ² =16+b ² ，

在 Rt △ POM 中， PM ² =OP ² +OM ² =a ² +16+b ² +16 ，

又 ∵ PM ² = （ PA+AM ） ² = （ a+b ） ² =a ² +2ab+b ² ，

∴ ab=1 6 ，

∵ O ₁ A ² =O ₁ Q ² +QA ² = （ ） ² + （ ） ² = a ² +4 ， O ₂ A ² =O ₂ N ² +NA ² = （ ） ² + （ ） ² = b ² +4 ，

∴ S ₁ = π× O ₁ A ² = （ a ² +4 ） π ， S ₂ = π× O ₂ A ² = （ b ² +4 ） π ，

∴ = = = × =