（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是AC上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△P

Question

（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是

AC

上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．
（1）求证：△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，

AP

=

BP

，求PD的长；
（3）在点P运动过程中，设(AG)/(BG)=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）

Answer 1

（1）证明：∵

AC

＝

AD

，
∴∠DPF=180°-∠APD=180°-

AD

所对的圆周角=180°-

AC

所对的圆周角=

ADC

所对的圆周角=∠APC．
在△PAC和△PDF中，

∠APC＝∠DPF

∠PAC＝∠PDF

，
∴△PAC∽△PDF．

（2）如图1，连接PO，则由

AP

＝

BP

，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．

在Rt△ABC中，
∵AC=2BC，
∴AB²=BC²+AC²=5BC²，
∵AB=5，
∴BC=√(5)，
∴AC=2√(5)，
∴CE=AC•sin∠BAC=AC•(BC)/(AB)=2√(5)•

作业搜用户 2017-10-17