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设函数f(x)=exx2-k(2x+lnx)(k为常数,e为自然对数的底数).(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
题目详情
设函数f(x)=
-k(
+lnx)(k为常数,e为自然对数的底数).
(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
ex |
x2 |
2 |
x |
(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)当k=0时,函数f(x)=
(x>0).
f′(x)=
.
令f′(x)>0,解得x>2.令f′(x)<0,解得0<x<2.
∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递增;在(0,2)上单调递减.
(2)∵函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,
∴f′(x)=
-k(−
+
)=0有两个实数根.
化为k=
,
∴k=
在(0,2)内存在两个实数根.
设h(x)=
,x∈(0,2).则h′(x)=
.
令h′(x)=0,解得x=1.
令h′(x)>0,解得1<x<2;令h′(x)<0,解得0<x<1.
∴函数h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增.
∴当x=1时,函数h(x)取得极小值即最小值,h(1)=e.
而h(2)=
,h(0)→+∞.
∴e<k<
.
ex |
x2 |
f′(x)=
x(x−2)ex |
x4 |
令f′(x)>0,解得x>2.令f′(x)<0,解得0<x<2.
∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递增;在(0,2)上单调递减.
(2)∵函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,
∴f′(x)=
(x−2)ex |
x3 |
2 |
x2 |
1 |
x |
化为k=
ex |
x |
∴k=
ex |
x |
设h(x)=
ex |
x |
(x−1)ex |
x2 |
令h′(x)=0,解得x=1.
令h′(x)>0,解得1<x<2;令h′(x)<0,解得0<x<1.
∴函数h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增.
∴当x=1时,函数h(x)取得极小值即最小值,h(1)=e.
而h(2)=
e2 |
2 |
∴e<k<
e2 |
2 |
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