设函数f（x）=exx2-k（2x+lnx）（k为常数，e为自然对数的底数）．（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Question

设函数f（x）=(ex)/(x2)-k（(2)/(x)+lnx）（k为常数，e为自然对数的底数）．
（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Answer 1

（1）当k=0时，函数f（x）=(ex)/(x2)（x＞0）．
f′（x）=(x(x−2)ex)/(x4)．
令f′（x）＞0，解得x＞2．令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；在（0，2）上单调递减．
（2）∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，
∴f′（x）=((x−2)ex)/(x3)-k(−(2)/(x2)+(1)/(x))=0有两个实数根．
化为k＝(ex)/(x)，
∴k＝(ex)/(x)在（0，2）内存在两个实数根．
设h（x）=(ex)/(x)，x∈（0，2）．则h′（x）=((x−1)ex)/(x2)．
令h′（x）=0，解得x=1．
令h′（x）＞0，解得1＜x＜2；令h′（x）＜0，解得0＜x＜1．
∴函数h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，2）上单调递增．
∴当x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=e．
而h（2）=(e2)/(2)，h（0）→+∞．
∴e＜k＜(e2)/(2)．