设Ik＝∫kπ0ex2sinxdx（k=1，2，3），则有（）A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1＜I3

Question

设Ik＝

∫

kπ 0

ex2sinxdx（k=1，2，3），则有（　　）

A．I₁＜I₂＜I₃
B．I₃＜I₂＜I₁
C．I₂＜I₃＜I₁
D．I₂＜I₁＜I₃

Answer 1

由于当x∈（π，2π）时sinx＜0，可知

∫

2π π

ex2sinxdx＜0，也即I₂-I₁＜0，可知I₁＞I₂．
  又由于

∫

3π π

ex2sinxdx＝

∫

2π π

ex2sinxdx+

∫

3π 2π

ex2sinxdx，对

∫

3π 2π

ex2sinxdx做变量代换t=x-π得：

∫

3π 2π

ex2sinxdx＝

∫

2π π

e(t+π)2sin(t+π)dt＝−

∫

2π π

e(t+π)2sntdt＝−

∫

2π π

e(x+π)2sinxdx，
  故

∫

3π π

ex2sinxdx＝

∫

2π π

(ex2−e(x+π)2)sinxdx，由于当x∈（π，2π）时sinx＜0，ex2−e(x+π)2＜0，
  可知

∫

3π π

ex2sinxdx＞0，也即I₃-I_1＞0，可知I₃＞I₁．
  综上所述有I₂＜I₁＜I₃，故选（D）．