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设A是N介矩阵,若A3=0,则(I-A)-1?=I+A+A2
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设A是N介矩阵,若A3=0,则(I-A)-1?=I+A+A2
▼优质解答
答案和解析
A^3=0,I为单位矩阵
所以I - A^3 = I,
而I^3 =I
由立方差公式可以知道,
I^3 -A^3=(I-A)(I^2 +IA +A^2)=(I^2 +IA +A^2)(I-A),
即(I-A)(I+A+A^2)=(I^2 +IA +A^2)(I-A)=I,
所以由逆矩阵的定义可以知道,
I-A和 I+A+A^2互为逆矩阵,
即 (I-A)^(-1) = I+A+A^2
所以I - A^3 = I,
而I^3 =I
由立方差公式可以知道,
I^3 -A^3=(I-A)(I^2 +IA +A^2)=(I^2 +IA +A^2)(I-A),
即(I-A)(I+A+A^2)=(I^2 +IA +A^2)(I-A)=I,
所以由逆矩阵的定义可以知道,
I-A和 I+A+A^2互为逆矩阵,
即 (I-A)^(-1) = I+A+A^2
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