设f(x)在[a,+无穷)上连续,当x>a时f'(x)>k>0,其中k为常数.证：如果f(a)

Question

设f(x)在[a,+无穷)上连续,当x>a时f'(x)>k>0,其中k为常数.
证：如果f(a)<0,那么方程f(x)=0在[a,a-(f'(a)/k)]上有一个且仅有一个实根

Answer 1

对任意的x>a,有f(x)－f(a)＝f'(c)(x－a),由于f'(c)>k,因此
f(x)>f(a)+k(x－a),当x=a－f'(a)/k＝d>a时,得
f(d)>f(a)+k(－f'(a)/k)＝0,于是由连续函数的零点定理知道
f(x)在[a,d]上至少有一个实根.
由于f'(x)>0,故f(x)是严格递增的,因此实根惟一.
综上,f(x)＝0在[a,d]上有且仅有一个实根.