设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）可导,且f(1)=k∫0到1/kxe^(1-x)f(x)dx,其中常数k>1,证明存在ζ∈（0,1）,使f`(ζ)=(1-1/ζ)f(ζ)

Question

设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）可导,且f(1)=k ∫0到1/k xe^(1-x) f(x)dx,其中常数k>1,
证明存在ζ∈（0,1）,使f`(ζ)=(1-1/ζ)f(ζ)

Answer 1

证明
由f(x)在[0,1]连续,由积分中值定理有
存在θ1∈[0,1/k]（在[0,1]内,k>1）使得
f(1)=k∫(0~1/k)xf(x)exp(1-x)dx=k*(1/k-0)*θ1f(θ1)exp(1-θ1)=θ1f(θ1)exp(1-θ1)
记g(x)=xf(x)exp(1-x) 则有g(θ1)=f(1)=g(1)
由Roll定理有
存在ζ∈(θ1,1)使得g'(ζ)=[f(ζ)-ζf(ζ)+ζf'(ζ)]exp(1-ζ)=0 整理即得证.