已知实数k∈R，且k≠0，e为自然对数的底数，函数f（x）=k•exex+1，g（x）=f（x）-x．（1）如果函数g（x）在R上为减函数，求k的取值范围；（2）如果k∈（0，4]，求证：方程g（x）=0有且有一个

Question

已知实数k∈R，且k≠0，e为自然对数的底数，函数f（x）=(k•ex)/(ex+1)，g（x）=f（x）-x．
（1）如果函数g（x）在R上为减函数，求k的取值范围；
（2）如果k∈（0，4]，求证：方程g（x）=0有且有一个根x=x₀；且当x＞x₀时，有x＞f（f（x））成立；
（3）定义：①对于闭区间[s，t]，称差值t-s为区间[s，t]的长度；②对于函数g（x），如果对任意x₁，x₂∈[s，t]⊆D（D为函数g（x）的定义域），记h=|g（x₂）-g（x₁）|，h的最大值称为函数g（x）在区间[s，t]上的“身高”．问：如果k∈（0，4]，函数g（x）在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？

Answer 1

（1）∵g（x）=f（x）-x=(k•ex)/(ex+1)-x在R上为减函数，
∴g′(x)＝(kex(ex+1)−kex•ex)/((ex+1)2)−1=(kex)/((ex+1)2)−1≤0恒成立．
即k≤((ex+1)2)/(ex)恒成立．
∵((ex+1)2)/(ex)=ex+(1)/(ex)+2≥2+2=4．
当且仅当ex＝(1)/(ex)，即x=0时，((ex+1)2)/(ex)的最小值为4．
∴k的取值范围为（-∞，4]．
（2）由（1）知，
k∈（0，4]时，g（x）在R上为减函数．
又g（0）=(k)/(1+1)−0=(k)/(2)＞0，
g（4）=(k•e4)/(e4+1)-4=(ke4−4e4−4)/(e4+1)=((k−4)e4−4)/(e4+1)，
∵k≤4，
∴（k-4）e⁴-4＜0，
∴g（4）＜0．
∴g（x）=0在（0，4）上有一个根x=x₀．
又g（x）在R上为减函数，
∴g（x）=0有且只有一个根x=x₀．
∴当x＞x₀时，有g（x）＜g（x₀）=0．
即f（x）-x＜0，
∴x＞f（x）．①
又∵f（x）=(k•ex)/(ex+1)=