求助高数题设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）上可导，且f(1)=k∫0^(1/k)▒〖xe^(1-x)〗f(x)dx，其中常书k>1，证明存在ε∈（0，1），使f^'(x)=(1-1/ε)f(ε)

Question

求助高数题
设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）上可导，且f(1)=k∫_0^(1/k)▒〖xe^(1-x) 〗 f(x)dx，其中常书k>1，证明存在ε∈（0，1），使f^'(x)=(1-1/ε)f(ε)

Answer 1

构造函数利用Rolle定理求解.
令g(x)=xe^(-x)f(x)
而f(1)=k·1/k·ξe^(1-ξ)f(ξ)
所以e^(-1)f(1)=ξe^(-ξ)f(ξ)
即g(1)=g(ξ)
运用Rolle定理即可得到最终结果.