设函数f（x）在[a，+∞）内连续，在（a，+∞）内可导，且f′（x）＞k＞0（其中k为常数），又f（a）＜0，试证：方程f（x）=0在[a，a-f(a)k]内有且仅有一个实根．

Question

设函数f（x）在[a，+∞）内连续，在（a，+∞）内可导，且f′（x）＞k＞0（其中k为常数），又f（a）＜0，试证：方程f（x）=0在[a，a-(f(a))/(k)]内有且仅有一个实根．

Answer 1

因为f（a）＜0，利用拉格朗日中值定理可得，
f(a−(f(a))/(k))-f（a）=−(f(a))/(k)f′(ξ)，其中ξ∈(a，−(f(a))/(k))．
又因为当x＞a时，f′（x）＞K，
所以 f(a−(f(a))/(k))-f（a）＞-f（a）
从而 f(a−(f(a))/(k))＞0．
在区间[a，(f(a))/(k)]上利用零点存在定理可得，
f（x）=0在区间(a，−(f(a))/(k))内至少由一个根．
又因为当x＞a时，f′（x）＞K＞0，
所以f（x）在区间(a，−(f(a))/(k))内严格单调，
从而，f（x）=0在区间(a，−(f(a))/(k))内有且仅有一个实根．
又因为f（a）＜0，f(a−(f(a))/(k))＞0，
所以f（x）=0在区间[a，(f(a))/(k)]内有且仅有一个实根．