线性代数问题A是n阶矩阵,A2-2A+E=0得到A=E对不?还是A=E是前式的充分非必要条件?帮忙举个例子.（A2是A的平方）还有这个（E-A)(E+A）=E-A2=(E+A)(E-A)对不?

Question

线性代数问题
A是n阶矩阵, A2-2A+E=0 得到A=E 对不?还是A=E是前式的充分非必要条件?帮忙举个例子. （A2是A的平方）
还有这个（E-A)(E+A）=E-A2=(E+A)(E-A) 对不?

Answer 1

A^2-2A+E = 0
等价于(A-E)^2 = 0
等价于|A-E|^2 = 0 (取行列式)
等价于|A-E| = 0
|A-E| = 0说明方阵 A-E 不可逆 （可逆方阵行列式不为零）
有两个可能,其一, A-E 是零矩阵,自然行列式为0.这个时候,A-E = 0 得到A = E
其二,A-E 不是零矩阵,但是 A-E 不可逆 （n阶方阵,只要秩小于n,就不可逆）这样的矩阵是存在的,此时A-E 不等于零,A就不等于E
所以由 A^2-2A+E = 0不能推出A = E , A = E可以推出 A^2-2A+E = 0
因此 A^2-2A+E = 0是 A = E 的必要非充分条件
例子：A矩阵是个3阶方阵,第一行全是1,第二行第二列和第三行第三列是1,剩下的全是0这个时候,A^2-2A+E = 0但是A不等于E
第二个（E-A)(E+A）=E-A^2=(E+A)(E-A) 是对的
因为EA=AE,按乘法乘开就是E-A^2
但如果是(B-A)(B+A)打开的结果就应该是 B^2 + BA - AB - A^2这里AB和BA不一样,所以不能抵消