矩阵平方差设方阵A满足A²-A-2E=O,求A的逆矩阵.答案是1/2（A-E）.为啥不是1/2E,我解法如下：A²-E=A+E→（A+E）（A-E）=A+E→A-E=E→A=2E→A的逆矩阵就为1/2E.虽然平方公式在矩阵中不成立,但是A

Question

矩阵 平方差
设方阵A满足A²-A-2E=O,求A的逆矩阵.答案是1/2（A-E）.为啥不是1/2 E,我解法如下：A²-E=A+E→（A+E）（A-E）=A+E→A-E=E→A=2E→A的逆矩阵就为1/2 E.虽然平方公式在矩阵中不成立,但是A和E是可以互换的,为啥还不能成立呢?

Answer 1

问题不在于平方差公式那一步,可交换的矩阵确实是可以用平方差公式的.
真正的问题在于消去律,即CA = CB一般不能推出A = B,需要加上C可逆的条件.
其实在数的情况也需要C ≠ 0 不是吗.
所以(A+E)(A-E) = A+E不能直接推出A-E = E,最简单的反例就是A = -E.
正确解法是∵A(A-E) = 2E,∴A((A-E)/2) = E.即(A-E)/2就是A的逆.