如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2+6，求此正方形的边长．

Question

如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为√(2)+√(6)，求此正方形的边长．

Answer 1

以A为旋转中心，将△ABE旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，
∴MN=BE，AN=AE，∠NAE=60°，
∴△ANE为等边三角形，
∴AE=NE，
∴AE+EB+EC=MN+NE+EC，
当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC=√(2)+√(6)，
∵AB=AM，∠BAM=60°，
∴△ABM为等边三角形，
∴∠MBC=150°，则∠PBM=30°，
在Rt△PMC中，设BC=x，PM=(x)/(2)，PB＝(√(3))/(2)x
所以(√(2)+√(6))2＝((x)/(2))2+((√(3))/(2)x+x)2
所以x=2，
∴BC=2，
即正方形的边长为2．