已知：如图，在△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a、b、c满足b=a−c+c−a−2，BD⊥AC于D，交y轴于E．（1）如图1，求E点的坐标；（2）如图2，过A点作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°，求证：AG+

题目详情

已知：如图，在△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a、b、c满足b=

a−c

c−a

−2，BD⊥AC于D，交y轴于E．
（1）如图1，求E点的坐标；
（2）如图2，过A点作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°，求证：AG+GC=CB+BO；
（3）如图3，P为第一象限任意一点，连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点，在射线PQ上截取PH=PA，连接CH，F为CH的中点，连接OP，当P点运动时（PQ不过点C），∠OPF的大小是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．

▼优质解答

答案和解析

（1）如图1，∵b=

a−c

c−a

−2
∴a-c≥0，c-a≥0
∴a=c，b=-2，B（-2，0）
∴OA=OC，∠AOC=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°
∵BD⊥AC
∴∠BDA=90°，∠DBA=45°
∵∠BOE=∠BEO=45°，
∴OB=OE=2
∴E（0，2）
（2）证明：如图2，∵AG⊥BC，CO⊥AB
∴S_△ABC=

OC•AB=

BC•AG
∴AG=

OC•AB

∵∠BCO=30°，∠BOC=90°
∴BC=2BO=4，CO=

BC2−BO2

∴OA=OC=2

，AB=2+2

∴AG=

OC•AB