求：利用Taylor公式计算极限(e^xsinx-x(1+x))/（x^3）,特别是求e^xsinx的过程,谢谢谢谢!

Question

求：利用Taylor公式计算极限(e^xsinx-x(1+x))/（x^3） ,特别是求e^xsinx的过程,谢谢谢谢!

Answer 1

由于分母是3次方,因此做泰勒展开时展到3次方就够用
e^x=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+o(x³)
sinx=x-(1/6)x³+o(x³)
上面两式相乘得：（只计算三次之内的）
e^xsinx=x+x²+[(1/2)-(1/6)]x³+o(x³)
因此
lim[x→0] [e^xsinx-x(1+x)]/x³
=lim[x→0] [x+x²+(1/3)x³+o(x³)-x(1+x)]/x³
=lim[x→0] [(1/3)x³+o(x³)]/x³
=1/3
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