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设A为n阶实对称矩阵且A的主对角线上的元素之和等于正整数N，求|E+2A|的最大值．
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设A为n阶实对称矩阵且A的主对角线上的元素之和等于正整数N，求|E+2A|的最大值．
▼优质解答
答案和解析
设ai（i=1，2，…，n）是A的n个特征值，则|E+2A|=（1+2a1）（1+2a2）…（1+2an）
∴由题意，构造拉格朗日函数f=（1+2a1）（1+2a2）…（1+2an）+s（a1+a2+…+an），其中s为参数
令f对ai（i=1，2，…，n）和s的一阶偏导数为零，得
解得唯一极值点a1=a2=…=an=
此唯一极值点就是|E+2A|的最大值点
∴|E+2A|的最大值为(1+2
)n
∴由题意，构造拉格朗日函数f=（1+2a1）（1+2a2）…（1+2an）+s（a1+a2+…+an），其中s为参数
令f对ai（i=1，2，…，n）和s的一阶偏导数为零，得
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解得唯一极值点a1=a2=…=an=
| N |
| n |
此唯一极值点就是|E+2A|的最大值点
∴|E+2A|的最大值为(1+2
| N |
| n |
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