在四边形ABCD中AB=AD,AC于BD交于点E,∠ADB=∠ACB.（1）求证AB/AE=AC/AD（2）若AB⊥AC,AE：EC=1：2（2）若AB⊥AC,AE：EC=1：2,F是BC中点,求证：ABFD是菱形

Question

在四边形ABCD中AB=AD,AC于BD交于点E,∠ADB=∠ACB.（1）求证AB/AE=AC/AD（2）若AB⊥AC,AE：EC=1：2
（2）若AB⊥AC,AE：EC=1：2,F是BC中点,求证：ABFD是菱形

Answer 1

证明：（1）∵AB=AD,
∴∠ADB=∠ABE,
又∵∠ADB=∠ACB,
∴∠ABE=∠ACB,
又∵∠BAE=∠CAB,
∴△ABE∽△ACB,
∴AB/AE=AC/AB,
又∵AB=AD,
∴AB /AE =AC /AD ；
（2）设AE=x,
∵AE：EC=1：2,
∴EC=2x,
由（1）得：AB2=AE•AC,
∴AB= （根号3） x,
又∵BA⊥AC,
∴BC=（2根号3 ）x,
∴∠ACB=30°,
∵F是BC中点,
∴BF=（根号3） x,
∴BF=AB=AD,
又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD,
∴∠ADB=∠CBD=30°,
∴AD∥BF,
∴四边形ABFD是平行四边形,
又∵AD=AB,
∴四边形ABFD是菱形．