设函数f（x）=xea-x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Question

设函数f（x）=xe^a-x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，
∴当x=2时，y=2（e-1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同时f′（2）=e-1，
∵f（x）=xe^a-x+bx，
∴f′（x）=e^a-x-xe^a-x+b，
则

f(2)=2ea-2+2b=2e+2

f′(2)=ea-2-2ea-2+b=e-1

，
即a=2，b=e；
（Ⅱ）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe^2-x+ex，
∴f′（x）=e^2-x-xe^2-x+e=（1-x）e^2-x+e，
f″（x）=-e^2-x-（1-x）e^2-x=（x-2）e^2-x，
由f″（x）>0得x>2，由f″（x）<0得x<2，
即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1-2）e^2-2+e=e-1>0，
∴f′（x）>0恒成立，
即函数f（x）是增函数，
即f（x）的单调区间是（-∞，+∞）．