数已知关于x的多项式ax^3+bx^2+cx+d除以x-1已知关于x的多项式ax^3+bx^2+cx+d除以x-1时,所得的余式为1,除以x-2时所得的余数为3,求多项式ax^3+bx^2+cx^d除以（x-1）（x-2）时所得的余式是多少.

Question

数已知关于x的多项式ax^3+bx^2+cx+d除以x-1
已知关于x的多项式ax^3+bx^2+cx+d除以x-1时,所得的余式为1,除以x-2时所得的余数为3,求多项式ax^3+bx^2+cx^d除以（x-1）（x-2）时所得的余式是多少.

Answer 1

设f(x)=ax^3+bx^+cx+d,
由余数定理,f(1)=a+b+c+d=1,①
f(2)=8a+4b+2c+d=3,②
②-①,7a+3b+c=2,
c=2-7a-3b,
代入①,2-6a-2b+d=1,
d=6a+2b-1,
f(x)=ax^3+bx^+(2-7a-3b)x+6a+2b-1
=(x^2-3x+2)(ax+3a+b)+2x-1,
∴ax^3+bx^+cx+d除以（x-1)(x-2)时,所得的余式是2x-1