已知二次三项式ax2+bx+c（a＞0）（1）当c＜0时，求函数y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值；（2）若无论k为何实数，直线y＝k(x−1)−k24与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a+b+c的值．

Question

已知二次三项式ax²+bx+c（a＞0）
（1）当c＜0时，求函数y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）若无论k为何实数，直线y＝k(x−1)−(k2)/(4)与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，求a+b+c的值．

Answer 1

（1）由a＞0，c＜0知y'=ax²+bx+c与x轴必有交点，
y'_min＜0，
故y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值为-1；
（2）联立方程组

y＝k(x−1)−(k2)/(4)

y＝ax2+bx+c

，
∴ax²+bx+c=k（x-1）-(1)/(4)k²，
整理得，ax²+（b-k）x+c+k+(1)/(4)k²=0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△=（b-k）²-4a（c+k+(1)/(4)k²）=（1-a）k²-2k（2a+b）+b²-4ac=0，
可得1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，
解得a=1，b=-2，c=1，
故a+b+c=0．