设f（x）在[0，+∞）上连续且有界，证明对任意正数T，存在xn→+∞，使得limn→∞（f（xn+T）-f（xn））=0．

Question

设f（x）在[0，+∞）上连续且有界，证明对任意正数T，存在x_n→+∞，使得

lim

n→∞

（f（x_n+T）-f（x_n））=0．

Answer 1

证明：设g（x）=f（x+T）-f（x），
依题设条件，可得必有g（x）>0或g（x）<0，x∈（0，+∞）
不妨设g（x）>0，x∈（0，+∞）
我们断定，∀ε>0，对于任意大的A>0，不可能对所有x>A，恒有g（x）≥ε，
否则由

n

k=0

g(x+kT)=f(x+(n+1)T)-f(x)>(n+1)ε，
f（x+（n+1）T）>f（x）+（n+1）ε→∞，（x≥A）
这与f（x）的有界性矛盾，
所以任取(1)/(n)>0，存在x_n>n，使得g(xn)<(1)/(n)，
所以

lim

n→∞

(f(xn+T)-f(xn))=

lim

n→∞

g(xn)=0，
结论得证．
注：g（x+kT）=f（x+kT+T）-f（x+kT）．