学数学的烦恼设G是一个2n阶有限交换群,其中n是一个奇数.证明：G有且只有一个2阶元素.证：依题意,问题可化为证明G有且仅有一个2阶子群.先证存在性..省略再证唯一性设有2阶子群H={e,a},K={e,b

Question

学数学的烦恼
设G是一个2n阶有限交换群,其中n是一个奇数.证明：G有且只有一个2阶元素.
证：依题意,问题可化为证明G有且仅有一个2阶子群.
先证存在性.
.省略
再证唯一性
设有2阶子群H={e,a},K={e,b}
则又因G是交换群,由定理知HK={e,a,b,ab}构成一个4阶子群,
由Lagelanr定理知｜HK｜｜｜G｜
即4|2n,2|n,与“n是一个奇数相矛盾”,所以H＝K
我困惑：怎么别人能作这种假设,巧妙地用定理证明,我自己冥思苦想,总也想不到直观的方法.

Answer 1

这种方法是很常规的解题思路,一般这样的题这要你对群和交换群的定义性质有足够的理解就行了.这是一种数学修养的培养,也是一种经验的积累,只要你的数学功底够厚,很自然的就会想到了.就像你看到桶里的水满了,你想也不想就关掉了水龙头一样的简单