如何证明（f.g）.h=f.（g.h）?

Question

如何证明（f.g）.h=f.（g.h）?

Answer 1

首先,所给命题不对,并非对任意函数 f、g、h,都有(f·g)·h = f·(g·h)成立.需要一定的条件.
设 f : A1 → B1,g : A2→B2,h : A3→B3.
若X为A1的子集,记f(X)={ f(x) | x∈X},于是f(A1)表示f的值域.只有当h(A3)是A2的子集时,复合函数g·h才有意义,当g(A2)是A1的子集时,复合函数f·g才有意义.
根据复合函数的定义：g·h : A3→B2,x ├→ g(h(x)),即(g·h)(x)=g(h(x)),
那么
(f·(g·h))(x)=f((g·h)(x))=f(g(h(x))),
((f·g)·h)(x)=(f·g)(h(x))=f(g(h(x))),
即对任意x∈A3, (f·(g·h))(x)=((f·g)·h)(x),
所以f·(g·h)=(f·g)·h.