关于微积分设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,证明存在t∈(a,b),使f`(t)[g(b)-g(t)]=g`(t)[f(t)-f(a)].答案中写道：所要证得的等式可写为[(f(x)-f(a))(g(b)-g(x))]`|(x=t)=0.为什么?

Question

关于微积分
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,证明存在t∈(a,b),使f`(t)[g(b)-g(t)]=g`(t)[f(t)-f(a)].答案中写道：所要证得的等式可写为[(f(x)-f(a))(g(b)-g(x))]`|(x=t)=0.为什么?

Answer 1

就是对[(f(x)-f(a))(g(b)-g(x))]求导,然后代入t
求导得f'(x)[g(b)-g(x)]-[f(x)-f(a)]g'(x)=0
代入x=t后恰好为所给的条件.
所以可以构造函数P(x)=[(f(x)-f(a))(g(b)-g(x))]
所以P(a)=P(b)=0由罗尔定理得证.