设f为R上单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明函数g在R上每点都右连续∵f为R上的单调函数,∴f的不连续点为最多可数集根据实变函数的结论我是大一新生，课本里至今未提此结论，那该如何证明呢

Question

设f为R上单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明函数g在R上每点都右连续
∵f为R上的单调函数,∴f的不连续点为最多可数集 根据实变函数的结论
我是大一新生，课本里至今未提此结论，那该如何证明呢

Answer 1

证明:
∵f为R上的单调函数,
∴f的不连续点为最多可数集
设f的不连续点组成的集合为E
则g(x)=f(x+0)=f(x) x∈R\E
∴g(x)在R\E上连续,则也右连续
任取x∈E,g(x)=lim(t->x+)f(t)=lim(t->x+)g(t) t∈R\E
∴g在x右连续
综上,g(x)在R上右连续
补充:证明没有用到是否存在那样的开区间.不过可以做如下解释
由于E包含于R,且E为最多可数集
则R\E稠于E,即E中每个点都可以由R\E中的点列来逼近
由于极限lim(t->x+)f(t)存在,所以让t属于R\E来求得的极限必然和t∈R时的极限相同.所以有如上证明.
补充2:请注意,D(x)可不单调
关于那一步证明用的是实变函数的结论.
补充3:我不会^^