设lim(x->X)f(x)=∞,且x->X时,g(x)的主部是f(x)证明lim(x->X)g(x)=∞,且g(x)~f(x)(x->X).这是道例题,过程里有“由函数极限的局部保号性有g(x)/f(x)>=1/2”为什么g(x)/f(x)>=1/2?这个地方不知道怎么理解证明：由

Question

设lim(x->X)f(x)=∞,且x->X时,g(x)的主部是f(x)
证明lim(x->X)g(x)=∞,且g(x)~f(x) (x->X).
这是道例题,过程里有“由函数极限的局部保号性有g(x)/f(x)>=1/2”为什么g(x)/f(x)>=1/2?这个地方不知道怎么理解
证明：由于 g(x)=f(x)+o(f(x)) (x->X)
则lim(x->X)g(x)/f(x)=lim(x->X)[1+o(f(x))/f(x)]=1
由函数极限的局部保号性有g(x)/f(x)>=1/2....

Answer 1

因为lim(x->X)g(x)/f(x)=lim(x->X)[1+o(f(x))/f(x)]=1,
故在x=X的某些邻域(比如(X-ε,X+ε),ε很小)中g(x)/f(x)不会太偏离1,比如可以|g(x)/f(x)-1|≤1/2,
那就有g(x)/f(x)≥1/2了······
所谓”极限的局部保号性“是指如下命题：
设x->a时f(x)->A,则对任意B0,使得任意x∈(X-δ,X+δ),f(x)>B
那么局部【当|x-X|