化简Sn=n+（n-1）×2+（n-2）×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是（）化简Sn=n+（n-1）×2+（n-2）×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是（）A．2n+1+n-2B．2n+1-n+2C．2n-n-2D．2n+1-n-2∵Sn=n+（n-1）×2+（n-2）×22+…+2×2n-2+2n-1

Question

化简Sn=n+（n-1）×2+（n-2）×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是（ ）
化简Sn=n+（n-1）×2+（n-2）×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是（　　）

A．2n+1+n-2B．2n+1-n+2C．2n-n-2
D．2n+1-n-2
∵S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1…①
2S_n=n×2+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-1+2ⁿ…②
∴①-②式得；-S_n=n-（2+2²+2³+…+2ⁿ）=n+2-2ⁿ⁺¹
∴S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1n+2-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-n-2
但①-②式中的过程是什么,神略得太多了,我搞了好久也搞不出这个答案,我知道错位相减,可这题我减不出这个答案,求①-②式的过程

Answer 1

∵Sn=nx2º+（n-1）×2'+（n-2）×2²+…+2×2^(n-2)+1x2^(n-1)….①
2Sn= n×2' + （n-1） ×2²+（n-2）×2³+…+2×2^(n-1)+1x2^n….②
∴①-②式得；-Sn=n-（2'+2²+2³+…+2^n-1）-2^n=n+2-2^n-2^n=n+2-2^(n+1)
∴Sn=2^(n+1)-n-2
故D