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f(x)=f(2x)且f(x)在x=0处连续,证明f(x)是常值函数
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f(x)=f(2x)且f(x)在x=0处连续,证明f(x)是常值函数
▼优质解答
答案和解析
f(x)=f(2x), 所以f(x)=f(2x)=f(4x)=...=f((2^n)x),
如果令y=(2^n)x,则有x=y/(2^n),
则有f(y)=f(y/(2^n))
因为f(x)在x=0处连续,所以limf(x)=f(0)(x→0)
对于任意的y0有f(y0)=f(y0/(2^n)),且n是任意的正整数
所以f(y0)=f(y0/(2^n))=limf(y0/(2^n))(n→+∞)=f(0)
即f(x)=f(0), 结论得证.
如果令y=(2^n)x,则有x=y/(2^n),
则有f(y)=f(y/(2^n))
因为f(x)在x=0处连续,所以limf(x)=f(0)(x→0)
对于任意的y0有f(y0)=f(y0/(2^n)),且n是任意的正整数
所以f(y0)=f(y0/(2^n))=limf(y0/(2^n))(n→+∞)=f(0)
即f(x)=f(0), 结论得证.
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