设函数f（x），g（x）在区间[a．b]上连续，且f（x）单调增加，0≤g（x）≤1，证明：（1）0≤∫xag(t)dt≤x−a，x∈[a，b]；（2）∫a+∫bag(t)dtaf(x)dx≤∫baf(x)g(x)dx．

Question

设函数f（x），g（x）在区间[a．b]上连续，且f（x）单调增加，0≤g（x）≤1，证明：
（1）0≤

∫

x a

g(t)dt≤x−a，  x∈[a，b]；
（2）

∫

a+

∫

b a

g(t)dt

a

f(x)dx≤

∫

b a

f(x)g(x)dx．

Answer 1

（1）证明：因为0≤g（x）≤1，所以

∫

x a

0dx≤

∫

x a

g(t)dt≤

∫

x a

1dt  x∈[a，b]．
即0≤

∫

x a

g(t)dt≤x−a，  x∈[a，b]．
（2）令F(x)＝

∫

x a

f(u)g(u)du−

∫

a+

∫

x a

g(t)dt

a

f(u)du，
则可知F（a）=0，且F′(x)＝f(x)g(x)−g(x)f(a+

∫

x a

g(t)dt)，
因为0≤

∫

x a

g(t)dt≤x−a，且f（x）单调增加，
所以f(a+

∫

x a

g(t)dt)≤f(a+x−a)＝f(x)．从而F′(x)＝f(x)g(x)−g(x)f(a+

∫

x a

g(t)dt)≥f(x)g(x)−g(x)f(x)＝0，x∈[a，b]
也是F（x）在[a，b]单调增加，则F（b）≥F（a）=0，即得到

∫

a+

∫

b a

g(t)dt

a

f(x)dx≤

∫

b a

f(x)g(x)dx．