已知函数f（x）在x=0的某个邻域内连续，且f（0）=0，limx→0f(x)1-cosx=2，则（）A.f′（0）存在，且f′（0）≠0B.f′（0）不存在C.f（x）在x=0处取得极小值D.f（x）在x=0处取得极大值．

Question

已知函数f（x）在x=0的某个邻域内连续，且f（0）=0，

lim

x→0

(f(x))/(1-cosx)=2，则（　　）

A. f′（0）存在，且f′（0）≠0

B. f′（0）不存在

C. f（x）在x=0处取得极小值

D. f（x）在x=0处取得极大值．

Answer 1

①选项A和B．因为f（0）=0，且

lim

x→0

(f(x))/(1-cosx)=2，
所以

lim

x→0

(f(x)-f(0))/(x-0)=

lim

x→0

(f(x))/(x)
=

lim

x→0

(f(x))/(1-cosx)•

lim

x→0

(1-cosx)/(x)
=2

lim

x→0

(1-cosx)/(x)
=2

lim

x→0

(sinx)/(1)
=0，
从而f′（0）=

lim

x→0

(f(x)-f(0))/(x-0)=0
故A和B错误；
②选项C和D．由

lim

x→0

(f(x))/(1-cosx)=2，根据极限的定义，对ɛ=(1)/(2)>0，存在δ>0，使得|x|<δ时，有
|(f(x))/(1-cosx)-2|<(1)/(2)
即(3)/(2)<(f(x))/(1-cosx)<(5)/(2)
从而
f(0)=0<(3)/(2)(1-cosx)<f(x)
故f（x）在 0 处取得极小值
故C证确，D错误．