（1977•北京）（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0-δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）

Question

（1977•北京）（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x₀处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x₀处连续，且f（x₀）＞0，则存在一个x₀的（x₀-δ，x₀+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．

Answer 1

（1）若对于任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得当|x-x₀|＜δ时，
总有|f（x）-f（x₀）|＜ε，则称函数f（x）在点x₀处连续；
（2）证：由已知f（x）在点x=x₀处连续，
且f（x₀）＞0，
所以，由定义，对于给定的ε=(f(x0))/(2)＞0，
必存在δ＞0，当|x-x₀|＜δ时，
有|f（x）-f（x₀）|＜(f(x0))/(2)，
从而f（x）＞f（x₀）-(f(x0))/(2)=(f(x0))/(2)＞0
即在（x₀-δ，x₀+δ）内处处有f（x）＞0．