在等差数列{an}中，a1=1，a5=9．（1）求a3；（2）记bn=2an，证明：数列{bn}是等比数列；（3）对于（2）中的Sn，求函数f（n）=Sn-t•2n（n∈N*，t为常数且t∈[0，8]）的最小值g（t）．

Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9．
（1）求a₃；
（2）记b_n=2^a_n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（3）对于（2）中的S_n，求函数f（n）=S_n-t•2ⁿ（n∈N^*，t为常数且t∈[0，8]）的最小值g（t）．

Answer 1

（1）a3＝(a1+a5)/(2)＝5---------（2分）
（2）由a₁=1，a₅=9得，a_n=2n-1
当n≥2时，(bn)/(bn−1)=4，
所以数列{b_n}是以2为首项，4为公比的等比数列-------（5分）
（3）由（2）可得，Sn＝(2(1−4n))/(1−4)＝(2)/(3)(4n−1)------（7分）
所以，f(n)＝(2)/(3)(4n−1)−t•2n＝(2)/(3)(2n−(3t)/(4))2−(3)/(8)t2−(2)/(3)
∵t∈[0，8]，∴(3)/(4)t∈[0，6]，而n∈N^*
所以，当0≤t≤4时，f（n）_min=f（1）=-2t+2
当4＜t≤8时，f（n）_min=f（2）=-4t+10
故g(t)＝

−2t+2    (0≤t≤4)

−4t+10    (4＜t≤8)

----------（10分）