如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接

Question

如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（−(5)/(2)，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，
∴C（-3，1），
由A（0，2），C（-3，1）可知，直线AC：y=(1)/(3)x+2；

（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；

（3）如图3，直线BC：y=-(1)/(2)x-(1)/(2)，P（−(5)/(2)，k）是线段BC上一点，
∴P（-(5)/(2)，(3)/(4)），
由y=(1)/(3)x+2知M（-6，0），
∴BM=5，则S_△BCM=(5)/(2)．
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，
则(1)/(2)BN•(3)/(4)=(1)/(2)×(5)/(2)，
∴BN=(10)/(3)，ON=(13)/(3)，
∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上，
∴N（-(13)/(3)，0）．