如图，直线y=-3x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B，O，直线BC交⊙A于点D．（1）求点D的坐标．（2）以OC为直径作⊙O'，连接AD，直线AD与⊙O'相切吗？为什么

Question

如图，直线y=-√(3)x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B，O，直线BC交⊙A于点D．
（1）求点D的坐标．
（2）以OC为直径作⊙O'，连接AD，直线AD与⊙O'相切吗？为什么？
（3）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知B（0，2），C（(2)/(3)√(3)，0），
tan∠OBC=(OC)/(BO)＝((2)/(3)√(3))/(2)＝(√(3))/(3)，
∴∠OBC=30°，
∴BD=BOcos30°=√(3)．
过D作DE⊥y轴，垂足为E，DE=BD•sin30°=(√(3))/(2)，EO=DEtan30°=(1)/(2)，
∴D（(√(3))/(2)，(1)/(2))．

（2）相切．
连接O'D．
由题意知O'D=OO'，
∴∠O'OD=∠O'DO，
又∵∠AOD=∠ADO．
∴∠ADO'=∠ADO+∠O'DO=∠AOD+∠O'OD=∠AOO'=90°，
∴AD是⊙O'的切线．

（3）存在．
点P是直线BC与对称轴的交点，
设P'是对称轴上不同于点P的任一点，PO-PD=PC-PD=CD，P'O-P'D=P'C-P'D．
在△P'CD中，显然有P'C-P'D＜CD．
所以，存在点P，使PO与PD之差的值最大．
且点P是直线BC与对称轴的交点．
由CO²=CD•CB，得CD=(OC2)/(CB)＝(((2)/(3)√(3))2)/((4)/(3)√(3))＝(√(3))/(3)，
根据抛物线的对称性知对称轴方程为x＝(√(3))/(3)，
所以点P纵坐标为−√(3)×(√(3))/(3)+2＝1．
∴P（(√(3))/(3)，1）．