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设an=1+1/2+1/3+...+1/n用数学归纳法证明:a1+a2+..+a(n-1)=nan-n,其中n≥2
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设an=1+1/2+1/3+...+1/n用数学归纳法证明:a1+a2+..+a(n-1)=nan - n ,其中n≥2
▼优质解答
答案和解析
当n=2时,a1=1
2a2-=2a2-2=2(1+1/2)-2=1
a1=2a2-2,成立.
假设n=k时成立
则a1+.a(k-1)=kak-k
则n=k+1时
a1+.ak=kak-k+ak=(k+1)ak-k=(k+1)[a(k+1)-1/(k+1)]-k=(k+1)a(k+1)-1-k=(k+1)a(k+1)-(k+1)
nan-n=(k+1)a(k+1)-(k+1)
所以当n=k+1时,假设也成立.
综上述,原式成立,即a1+a2+..+a(n-1)=nan - n
2a2-=2a2-2=2(1+1/2)-2=1
a1=2a2-2,成立.
假设n=k时成立
则a1+.a(k-1)=kak-k
则n=k+1时
a1+.ak=kak-k+ak=(k+1)ak-k=(k+1)[a(k+1)-1/(k+1)]-k=(k+1)a(k+1)-1-k=(k+1)a(k+1)-(k+1)
nan-n=(k+1)a(k+1)-(k+1)
所以当n=k+1时,假设也成立.
综上述,原式成立,即a1+a2+..+a(n-1)=nan - n
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