假设n是2以上的整数,某自然数（1以上的整数）乘上n所得的数称为n的乘数,那么请回答以下问题：(1)证明2个连续自然数的积不是n的乘数(2)证明n个连续自然数的积不是n的乘数

Question

假设n是2以上的整数,某自然数（1以上的整数）乘上n所得的数称为n的乘数,那么请回答以下问题：
(1)证明2个连续自然数的积不是n的乘数
(2)证明n个连续自然数的积不是n的乘数

Answer 1

证明：（I）原问题即证k(k+1)=m^n不成立,其中k,m∈N+
使用反证法
∵任意正整数均可以表示成不同质数的乘积,∴不妨设m=(p1^s1)(p2^s2)(p3^s3)...(px^sx),其中pi(i=1,2,3...x)为从2开始的质数,si∈N+
又∵k与k+1均是m的约数,
∴我们可以认为k是取qi个pi相乘所得的数,而k+1是取(nsi-qi)个pi相乘所得的数,其中i=1,2,3...x且qi=0,1,2,3...nsi
也即k=(p1^qi)(p2^q2)(p3^q3)...(px^qx),
k+1=[p1^(ns1-q1)][p2^(ns2-q2)][p3^(ns3-q3)]...[px^(nsx-qx)]=(p1^qi)(p2^q2)(p3^q3)...(px^qx)+1 ①
在①中,对pi而言,若qi与nsi-qi不同时为0,
则pi|(p1^qi)(p2^q2)(p3^q3)...(px^qx),∴pi\(p1^qi)(p2^q2)(p3^q3)...(px^qx)+1,其中“|”和“\”表示整除与不整除
又pi|[p1^(ns1-q1)][p2^(ns2-q2)][p3^(ns3-q3)],矛盾
∴qi与nsi-qi必有一个为0,∴k和k+1必为某两个整数的n次方,设k=r^n,k+1=t^n,这里r,t∈N+,rt=m
则r^n+1=t^n ②
又∵(t-r)|1=t^n-r^n,∴t-r=1
但此时②不可能成立,矛盾
∴假设不成立,即证
（II）原问题即证k(k+1)(k+2)...(k+n-1)=m^n ③不成立,其中k,m∈N+
依旧使用反证法
∵k^n＜k(k+1)(k+2)...(k+n-1)＜(k+n-1)^n
∴k+1≤m≤k+n-2
又∵m∈N+,∴不妨设m=k+p,其中1≤p≤n-2,p∈N+
在③中,显然(k+p+1)|k(k+1)(k+2)...(k+n-1)
但∵相邻两整数互质,即(k+p+1)\(k+p),∴(k+p+1)\(k+p)^n,矛盾
∴假设不成立,即证