早教吧作业答案频道 -->数学-->
设数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=4/3an-1/3乘以2^(n+1)+2/3(n属于N,n≥1)(1)证明:数列{an+2^n}是等比数列,并求通项an(2)设bn=(2^n)/Sn,n=1,2,3,……,证明n∑i=1bi小于3/2(n在∑上面,i=1在下面)
题目详情
设数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=4/3an-1/3乘以2^(n+1)+2/3(n属于N,n≥1)
(1)证明:数列{an+2^n}是等比数列,并求通项an(2)设bn=(2^n)/Sn,n=1,2,3,……,证明n∑i=1 bi小于3/2(n在∑上面,i=1在下面)
(1)证明:数列{an+2^n}是等比数列,并求通项an(2)设bn=(2^n)/Sn,n=1,2,3,……,证明n∑i=1 bi小于3/2(n在∑上面,i=1在下面)
▼优质解答
答案和解析
1.Sn=4/3an-1/3*2^(n+1)+2/3,Sn+1=4/3an+1-1/3*2^(n+2)+2/3,S1=a1=4/3a1-1/3*4+2/3=2
Sn+1-Sn=an+1=4/3an+1-4/3an-1/3*2^(n+2)+1/3*2^(n+1)
化简得到4/3an+4/3*2^n=1/3an+1+1/3*2^(n+1)
(an+1+2^(n+1))/ (an+2^n)=4,所以{an+2^n}是等比数列且第一项为4,通项为4^n
所以an=4^n-2^n,Sn=4(1-4^n)/(1-4)+2(1-2^n)
2.设tn=2^n
则bn=(3/4)tn/(tn^2-3/2tn+1/2)=(3/2)tn/((tn-1)(2tn-1))=(3/2)(1/(tn-1)-1/(2tn-1))
将tn带入=(3/2)(1/(2^n-1)-1/(2^(n+1)-1))
提出3/2后可发现当中项可以全部抵消就留下头和尾
=3/2(1-1(2^(n+1)-1))
应为1(2^(n+1)-1))当n趋向无穷大时该值趋向0+所以n∑i=1 bi小于3/2
Sn+1-Sn=an+1=4/3an+1-4/3an-1/3*2^(n+2)+1/3*2^(n+1)
化简得到4/3an+4/3*2^n=1/3an+1+1/3*2^(n+1)
(an+1+2^(n+1))/ (an+2^n)=4,所以{an+2^n}是等比数列且第一项为4,通项为4^n
所以an=4^n-2^n,Sn=4(1-4^n)/(1-4)+2(1-2^n)
2.设tn=2^n
则bn=(3/4)tn/(tn^2-3/2tn+1/2)=(3/2)tn/((tn-1)(2tn-1))=(3/2)(1/(tn-1)-1/(2tn-1))
将tn带入=(3/2)(1/(2^n-1)-1/(2^(n+1)-1))
提出3/2后可发现当中项可以全部抵消就留下头和尾
=3/2(1-1(2^(n+1)-1))
应为1(2^(n+1)-1))当n趋向无穷大时该值趋向0+所以n∑i=1 bi小于3/2
看了设数列{an}的前n项的和为S...的网友还看了以下:
误差级别怎么计算的?“x^1999/(x^n-(x-1)^n)的极限等于1/a,x趋于正无穷,x的 2020-05-14 …
m*n的方格网,从右下角走到左上角最短距离走法有多少种?此题解法甚多,请简要的写一下思路.如果用组 2020-06-24 …
1.已知数列{a(n)}满足a(n)a(n+1)a(n+2)a(n+3)=24,且a1=1a2=2 2020-07-09 …
(文)在编号为1,2,3,…,n的n张奖券中,采取不放回方式抽奖,若1号为获奖号码,则在第k次(1 2020-07-10 …
1+1/2+1/3……+1/n,(n>1)证S(2^n)>1+n/2(n>=2,n属于N*)已知S 2020-07-22 …
(1/2)已知an=(1+根号下2)的n次方(n属于N*)若an=a+b根号下2(a.b属于Z)求 2020-07-30 …
已知一个边长为a的等边三角形,现将其边长n(n为大于2的整数)等分,并以相邻等分点为顶点向外作小等 2020-08-01 …
与limn→∞an=A不等价的一个命题是()A.∀ε>0,∃N∈N+,对于所有满足n≥N的n∈N+ 2020-08-02 …
n+2n+1n+1n+21.已知正整数n满足5.2-5.2=3000,求n的值2.一个正方体的棱长是 2020-11-19 …
表示从1到n的n个连续自然数的乘积,例如:10!=10*9*.*2*1,那么1!+4!+5!=(). 2020-11-28 …