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设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对任意的x∈R有f(-x)+f(x)=x2,且在(0,+∞)上f′(x)>x.若f(2-a)-f(a)≥2-2a,则实数a的取值范围.
题目详情
设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对任意的x∈R有f(-x)+f(x)=x2,且在(0,+∞)上f′(x)>x.若f(2-a)-f(a)≥2-2a,则实数a的取值范围______.
▼优质解答
答案和解析
令g(x)=f(x)-
x2,
∵g(-x)+g(x)=f(-x)-
x2+f(x)-
x2=0,
∴函数g(x)为奇函数.
∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)-x>0,
故函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,故函数g(x)在(-∞,0)上也是增函数,
由f(0)=0,可得g(x)在R上是增函数.
f(2-a)-f(a)≥2-2a,等价于f(2-a)-
≥f(a)-
,即g(2-a)≥g(a),
∴2-a≥a,解得a≤1,
故答案为:(-∞,1].
1 |
2 |
∵g(-x)+g(x)=f(-x)-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴函数g(x)为奇函数.
∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)-x>0,
故函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,故函数g(x)在(-∞,0)上也是增函数,
由f(0)=0,可得g(x)在R上是增函数.
f(2-a)-f(a)≥2-2a,等价于f(2-a)-
(2−a)2 |
2 |
a2 |
2 |
∴2-a≥a,解得a≤1,
故答案为:(-∞,1].
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