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自选题：不等式选讲：已知|x1-2|＜1，|x2-2|＜1．（I）求证：2＜x1+x2＜6，|x1-x2|＜2；（II）若f（x）=x2-x+1，求证：|x1-x2|＜|f（x1）-f（x2）|＜5|x1-x2|．
题目详情
自选题：不等式选讲：已知|x1-2|＜1，|x2-2|＜1．
（I）求证：2＜x1+x2＜6，|x1-x2|＜2；
（II）若f（x）=x2-x+1，求证：|x1-x2|＜|f（x1）-f（x2）|＜5|x1-x2|．
（I）求证：2＜x1+x2＜6，|x1-x2|＜2；
（II）若f（x）=x2-x+1，求证：|x1-x2|＜|f（x1）-f（x2）|＜5|x1-x2|．
▼优质解答
答案和解析
证明：（I）∵|x1-2|＜1，∴-1＜x1-2＜1，即1＜x1＜3，（2分）
同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6，（4分）
∵|x1-x2|=|（x1-2）-（x2-2）|≤|x1-2|+|x2-2|，
∴|x1-x2|＜2；（5分）
（II）|f（x1）-f（x2）|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|，（8分）
∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2-1＜5，
∴|x1-x2|＜|f（x1）-f（x2）|＜5|x1-x2|（10分）
同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6，（4分）
∵|x1-x2|=|（x1-2）-（x2-2）|≤|x1-2|+|x2-2|，
∴|x1-x2|＜2；（5分）
（II）|f（x1）-f（x2）|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|，（8分）
∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2-1＜5，
∴|x1-x2|＜|f（x1）-f（x2）|＜5|x1-x2|（10分）
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