求救,一个协方差和相关系数的题目设二维随机变量（x,y）概率密度为f（x,y）=2,0《x《1,0《y《x,0,其他求协方差Cov（x,y）还有相关系数

Question

求救,一个协方差和相关系数的题目
设二维随机变量（x,y）概率密度为f（x,y）=2,0《x《1,0《y《x,
0,其他
求协方差Cov（x,y）
还有相关系数

Answer 1

(x,y)的概率密度是 f(x,y)
那么x的边缘密度是fx(x)=∫(-∞ ,∞ )f(x,y)dy=∫(0,x) 2dy=2x 0《x《1
y的边缘密度是fy(y)=∫(-∞ ,∞ )f(x,y)dx=∫(y,1) 2dx=2(1-y) 0《y《1
所以EX=∫(0,1) x*2xdx=2/3x^3 (0,1)=2/3
DX=∫(0,1) (x-2/3)^2*2xdx=1/18
同理求出EY=1/3 DY=1/18
EXY=∫∫ xy*f(x,y)dxdy=∫(0,1)∫(0,x) 2xydxdy=1/4
所以Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=(EXY)-(EX)(EY)=1/4-2/3*1/3=1/36
P=Cov(X,Y)/√DX*√DY=1/2